侯卫婷老师开设研究课《直线与圆的位置关系》

2．2　直线与圆的位置关系

第一课时　直线与圆的位置关系

引入：

早晨的日出非常美丽，如果我们把海平面看成一条直线，而把太阳抽象成一个运动着的圆，观察太阳缓缓升起的这样一个过程，你能想象到什么几何知识呢？没错，日出升起的过程可以体现直线与圆的三种位置关系．

[问题]　日出升起的过程体现的是直线与圆的哪三种位置关系？知识点　直线与圆的三种位置关系

新授课：

设直线l和圆C的方程分别为Ax＋By＋C＝0，x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，圆心到直线l的距离为d，半径为r，则直线l与圆C的方程联立方程组

我们有如下结论：

思考：

1．若直线与圆只有一个公共点，则直线与圆一定相切吗？

2．若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离满足什么条件？

[例1]　(链接教科书第58页例1)求直线x－y－1＝0和圆x²＋y²＝13的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．

判断直线与圆位置关系的方法

(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断；

(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　

[跟踪训练]

已知直线l：x－y＝0与圆C：(x－7)²＋(y－1)²＝36，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交求出交点坐标．

[例2]　(链接教科书第59页例2)(1)设直线mx－y＋2＝0与圆x²＋y²＝1相切，则m＝________；

(2)过点A(－1，4)作圆C：(x－2)²＋(y－3)²＝1的切线l，求切线l的方程为________．

 [母题探究]

(变条件)若本例(2)中的圆C：“(x－2)²＋(y－3)²＝1”换为圆C：“x²＋y²＝17”其它条件不变，试求切线l的方程．

1．过圆上一点(x₀，y₀)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y₀或x＝x₀.

2．过圆外一点(x₀，y₀)的切线方程的求法

设切线方程为y－y₀＝k(x－x₀)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x₀，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．

3．求切线长(最值)的两种方法

(1)代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；

(2)几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．　　　

课后反思：解析几何是17世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数的方法来研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本课教学中，在平面直角坐标系中建立直线与圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及相互位置关系，　充分体现“形” 的直观性和“数”的严谨性。