例1. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．

（1）求证：B为钝角；

（2）若ABC同时满足下列4个条件中的3个：①；②；③；④．试确定这3个条件，并求b的值．

【试题情境】

以三角形中的三角函数不等关系为背景，考查正余弦定理等问题。

【必备知识】

正余弦定理、三角形中已知特殊角三角函数值求角。

【关键能力】

条理清晰的代数证明，不重不漏的分类讨论，解二次方程。

【学科素养】

逻辑推理和数学运算。

【解题思路】

第（1）问：证明钝角问题，对条件可以化边，也可以化角，结合三角形中的角B余弦值为负得证；

第（2）问：由4个条件中满足3个，分4类解三角形，可以正弦定理、也可以余弦定理，其中3类得到矛盾，只有①③④满足，从而解得。

【学生错误】

第（1）问：①利用正余弦定理转化时，正余弦定理不交待；②得到后，未写出，就直接为钝角；③由，不写的范围，就直接为钝角。

第（2）问：①理解题意错误，只选了其中3个解得结果就结束；②没有思路，逻辑混乱；③否定第二个条件，理由不清楚；④由正确一组求解时，解二次方程出错。

【教学反思】

新高考试题具有基础性、综合性和创新性的特点，这就要求我们在平时的教学中应重视对数学核心知识的理解和掌握。

本题的基础性体现在第一小题上，作为证明题应推理有据，不能直接应用结论，教学中要重视简单的代数推理证明。

本题的综合性和创新性在于第二小题，“结构不良”题是一类新题型，需要较强的综合推理能力和逻辑分析能力，在平时教学中除典例的讲解，还要有一定的训练，重视书写表达。

例2. 在平面四边形ABCD中，，，，，△BCD的面积为．

（1）求的值；

（2）求边BC的长．

【试题情境】

本题以平面四边形和三角形为载体，给出三角形一条边长、三个角以及一个三角形的面积，主要考察学生运用两角和的正弦公式求值，以及利用正余弦定理和三角形面积公式求出另一条边长。

【必备知识】

两角和与差的三角函数、诱导公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等。

【关键能力】

逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力等。

【学科素养】

逻辑推理、数学建模、数学运算等。

【解题思路】

思路1：

第（1）问，由的余弦值求出相应正弦值，再利用三角形内角和，把求的正弦转化为求与和的正弦，运用两角和的正弦公式求出结果；

第（2）问，在内，由正弦定理求出，再结合第（1）问的结果求出的正弦值，然后利用的面积求出，最后在中用余弦定理求出。

思路2：

第（1）问，过点B作AD的垂线把分成两个直角三角形，再求出相关的边角得到的正弦；

第（2）问，过点B作CD的垂线，把也分成两个直角三角形，求出相应的边长，最后通过勾股定理求出。

【学生错误】

常见错误1：在用两次余弦定理，组成方程组求另外两条边，求出了两解；

常见错误2：在求与和的正弦值时出现计算错误；

常见错误3：在求的正余弦时诱导公式用错，虽然最后结果求出，但实际上前面求出了错解；

常见错误4：第（2）问中在最后一步中，由求BC时出现大量计算错误；

常见错误5：书写潦草，解题不规范，在用公式求解过程中缺少公式的呈现；

常见错误6：不能正确分析两个三角形中的边角关系，不能熟练、恰当的选择正余弦定理求解。

【教学反思】

1、夯实基础、筑牢根基。本题考查的知识点较为基础，然而学生得分率却偏低。我们在平时的教学中应更加重视基础知识和基本方法的教学。

2、在教学过程中加强对学生分析问题、解决问题能力的培养。加强思维训练，课堂中多渗透如何选择合适的解题方法去解决问题。

3、网课后遗症明显，后续的教学中适当跟进些补偿性教学。重点知识和重要方法及时巩固、滚动，不断唤醒，防止遗忘；课堂多归纳总结，形成必要的知识体系。

4、重视学生计算能力的训练，计算能力的培养应常抓不懈。课堂展示必要的计算过程，如公式的整理、变形、化简等。加强算理算法指导，提高数据计算、处理的能力。

5、教学中重视对解题规范的要求，培养学生用规范的数学语言去表达。

6、在教学的各个环节上渗透数学学科核心素养和关键能力的培养，课堂教学应把核心素养和关键能力的培养落到实处。

例3. 设D为边AB上一点，满足，，记，．

（1）若，，求CD长；

（2）若，其中为定值，试用，表示的面积，并求其最大值．

【试题情境】

试题以三角形为载体，借助边角关系等解三角形知识构建多变元等式或函数，通过基本不等式，三角恒等变换和三角函数的性质（也可利用平面几何知识）来处理问题的综合题。

【必备知识】

三角形中的正余弦定理和对特殊情形（垂直关系）的处理，多变元问题中的消元技巧或者基本不等式技巧，三角恒等变换和三角函数性质的综合应用．

【关键能力】

本题主要考查转化与化归能力（如对二元变量等式的代数变形，对目标的合理转换等），逻辑推理能力（选取合适的边角关系，构建多变元函数；选取合适的模型，应用基本不等式技巧；构建外接圆，以平面几何知识求取最值等），运算能力（三角恒等变换的计算）．

【学科素养】

本题综合考查了学生数学抽象（从边角关系抽象出三角恒等式，从复杂三角形中识别关键边角关系）、逻辑推理、数学建模（构造合适的函数）、数学运算等数学学科核心素养．本题要求学生灵活的选择函数模型，进行难度较大的三角恒等变换，多变元消元技巧以及三角函数性质的综合应用等逻辑推理，能考查学生的数学综合能力．

【解题思路】

第（1）题为常规问题，主要考察学生用三角形边角关系借助正弦定理构建三角恒等式，再通过三角形几何性质求出CD长，属于容易题；

第（2）题给定多变元等量关系，构建的面积的函数关系式，再通过三角变换，基本不等式，平面几何性质求解最值，属于中档题中的难题。

对于的面积的函数关系式可以通过的面积，再通过等高来求解的面积，即答案提供的方法；也可以通过正弦定理求出，再通过三角形面积公式直接求出的面积的函数解析式。

对于的面积的最值：法一、可以通过恒等变换化简得到,再通过三角函数性质求解最值（答案提供的方法）；法二、可以通过余弦定理求出最大值，从而求出的面积的最大值；法三、可以用三角形外接圆等角对等边的最大值性质求出的面积的最大值，再求出目标的面积的最大值。

解：（1）设CD长为x，当时，，，则，．

因为，所以，即，

所以，得，  …………………2分

所以，即为．  …………………4分

（2）在中，，则，

由正弦定理得，又，

所以，，       ……………………6分

因此，的面积

 ，

则的面积   ……………8分

．………10分

故当且仅当即时，的面积取最大值为．…………12分

【学生错误】

（1）由于疫情原因，学生线上学习不够扎实，导致时间不足，所以对本题思考的时间不够多，很多同学粗糙的处理本题，以至于试卷上涂改严重，方法五花八门，很多同学找不到重点，无法入手，失分非常可惜！

（2）多变元问题是难点，也是考试考查的重点，很多同学因为畏难情绪而失分，值得深思；

（3）三角恒等变换的不熟练，不能掌握灵活解题的技巧，导致第二小题失分严重；

（4）格式规范性不够，第二小题中最值成立条件有不少同学忘记考虑，故此失分。所以格式规范有待提高！

【教学反思】

（1）加强基本规范的教学，加强学生的数学表达能力的训练；

（2）关注近几年高考三角题，深入研究高考三角函数综合题，挖掘高考题的教学价值；

（3）要加强代数变形能力（三角恒等变换，正余弦定理的灵活应用等）的训练，要加强用联系的观点看问题的意识的培养；

（4）培养学生审题的能力，提高学生分析问题，探究合适方法解决问题的能力；

（5）辨证地看待二级结论，二级结论在多数条件下可以让学生发现命题背景，选择较快的解决方法，但也不能教条地让学生记忆二级结论，死搬硬套二级结论．