非线性回归方程

【例1】红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值．

（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程．（计算结果精确到

（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到以上的概率为．记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率．

附：回归方程中，，．

【例2】个人所得税是国家对本国公民、居住在本国境内的个人的所得和境外个人来源于本国的所得征收的一种所得税．我国在1980年9月10日，第五届全国人民代表大会第三次会议通过并公布了《中华人民共和国个人所得税法》．公民依法诚信纳税是义务，更是责任现将自2013年至2017年的个人所得税收入统计如表：

并制作了时间代号与个人所得税收入的如图散点图：

根据散点图判断，可用①与②作为年个人所得税收入关于时间代号的回归方程，经过数据运算和处理，得到如下数据：

表中，，，参考数据：，．

以下计算过程中四舍五入保留两位小数．

（1）根据所给数据，分别求出①，②中关于的回归方程；

（2）已知2018年个人所得税收入为13.87千亿元，用2018年的数据验证（1）中所得两个回归方程，哪个更适宜作为关于时间代号的回归方程？

（3）你还能从统计学哪些角度来进一步确认哪个回归方程更适宜？（只需叙述，不必计算）

附：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：．

【变式1-1】为了迎接十四运，提高智慧城市水平，西安公交公司近期推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：

根据以上数据，绘制了散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，与，均为大于零的常数），哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；

（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立与的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表：

西安公交六公司车队为缓解周边居民出行压力，以90万元的单价购进了一批新车，根据以往的经验可知，每辆车每个月的运营成本约为0.66万元．已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客中有的概率享受7折优惠，有的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠．预计该车队每辆车每个月有2万人次乘车，根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其它因素的条件下，按照上述收费标准，请你估计这批车辆需要几年（结果取整数年）才能盈利？

参考数据：

其中其中，，

参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．

昨天的组内交流课是《非线性回归模型及其应用》，从今天批改13班的作业情况来看，比我预想的结果还要差些。美术班由于一段时间以来的重点是美术专业课的学习，导致每天的作业只能是少量和偏易的题目，像昨天课上讲解的题型没有做过，其他班级均在限时作业和综合测试练过。考虑到当前高考的形势，线性回归方程的有关问题是最有可能在考试中拿分的，这是我选择这课的最主要原因。前面学习了线性回归方程，大部分同学能够在给定公式的前提下完成，本节课讲解的三种类型，是通过换元转化为一元线性关系。课上讲解过程中，我详细书写解题过程，讲解换元技巧，便于学生课下模仿，也对学生可能遗忘的指数对数互化公式给予复习，希望学生学有收获。今天批改下来，我感觉没有达到预期的教学效果。反思一下，有几点值得特别重视：第一、学生重心在美术专业课，对文化课的重视不够；第二、本节课的内容相对于学生目前状况还是比较难，前面的线性回归方程不少学生掌握不好；第三、需要的预备知识，如指数对数函数的相关概念和公式遗忘较多；第四、课堂上有些学生状况不佳，我还缺乏必要的手段。今后还要对这段内容加以重视，同时丰富教学手段，活跃课堂氛围，提高教学效果。