二项分布与超几何分布教案

一、知识梳理：

1. 独立重复试验与二项分布

(1) 独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2) 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝___________________________________，此时称随机变量X服从二项分布，记为________________，并称p为成功概率．

2. 两点分布与二项分布的均值、方差

(1) 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝_______，D(X)＝______________.

(2) 若X～B(n，p)，则E(X)＝__________，D(X)＝_______________.

3. 超几何分布

一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品，从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝___________ (k＝0,1,2，…，m)，即

其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N^*.

若一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.

二、典型例题

例题1：从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如图所示的频率分布直方图．

(1) 求a的值并估计该市中学生中的全体男生的平均身高(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；

(2) 从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm以上的概率．若从全市中学的男生(人数众多)中随机抽取3人，用X表示身高在180 cm以上的男生人数，求随机变量X的分布列和数学期望E(X)．

解：

（1）根据题意得(0.005×2＋a＋0.02×2＋0.04)×10＝1，解得a＝0.010，设样本中男生身高的平均值为，＝145×0.05＋155×0.1＋165×0.2＋175×0.4＋185×0.2＋195×0.05＝172.5(cm)，所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm.

（2）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm以上的概率约为.由已知得X～B，所以P(X＝0)＝C⁰·³＝，P(X＝1)＝C¹·²＝，P(X＝2)＝C²·¹＝，P(X＝3)＝C³·⁰＝，即随机变量X的分布列为

所以E(X)＝3×＝.

小结：(1) 在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．

例题2：(2021·淮北二模)2020年第七次全国人口普查摸底工作从10月11日开始，10月31日结束．从11月1日开始进入普查的正式登记阶段．普查员进入每个住户逐人逐项登记普查信息，这期间还将随机抽取10%的住户填报普查长表，调查更为详细的人口结构信息．整个登记工作持续到12月10日结束．某社区对随机抽取的10%住户普查长表信息情况汇总，并按照住户人均年收入情况绘制出如图的频率分布直方图(假设该社区内住户人均年收入均在0到12万之间)：

（1）若抽取的10%住户中，家庭人均年收入在[6,8]万元的恰好有32户，则该社区共有住户约多少户？

（2）若从抽取的10%住户中人均年收入不高于8万元的住户中按照分层随机抽样的方法抽取10户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保障情况进行调查，用X表示抽取的4户中家庭收入不少于6万元的住户数，求随机变量X的分布列与数学期望．

解：（1）由频率分布直方图可知，2(a＋2a＋3a＋4a＋0.175＋3a)＝1，所以a＝0.025，所以抽取的10%住户中，家庭人均年收入在[6,8]万元的比重恰好为8a＝0.2，又恰好为32户，所有10%住户共计约为160户，进而可得该社区共有住户约1 600户．

（2）在家庭人均年收入不高于8万元的住户中分层随机抽样抽取10户，可知10户中，收入在[0,2)是1户，[2,4)是2户，[4,6)是3户，[6,8]是4户，其中不少于6万的占4户，再从这10户中随机抽取4户对其住房和医疗保障情况进行调查，所以X的可能值为0,1,2,3,4.所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，故随机变量X的分布列为：

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.

三、课堂练习

（1）现高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，先从这7人中随机抽取3人作进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数，则随机变量X的数学期望是______；设事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件A发生的概率为______.

（2）《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格．若某参赛选手每场比赛获胜的概率是，则这名选手能参加决赛的概率是(　 　)

A.           B.       C.              D.

（3）(2021·莆田二模)2021年1月18日，国家统计局公布我国2020年GDP总量首次突破100万亿元，这是我国经济里程碑式的新飞跃．尤其第三产业增长幅度较大，现抽取6个企业，调查其第三产业产值增长量分别为0.4,0.6,1.2,1.2,1.8,2.0(单位：十万元)，若增长量超过1.5(十万元)可评为优秀企业，现从6个企业中随机抽取两个，则恰好有一个优秀企业的概率为(　 　)

A.                B.         C.             D.

四、总结反思

1、在n次伯努利实验中强调实验的独立和重复其实质就是为了保证事件A发生与不发生的概率在每一次实验中是一样恒定不变的，只有概率不变才可以考虑二项分布，而放回抽样可以保证每一次抽取A发生与不发生的概率不变，所以是典型的二项分布问题，不放回抽样第一次抽与下一次抽，A发生与不发生的概率都在变化，不符合二项分布条件，所以使用超几何分布来处理

2、比如在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色球的次数服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目很大时，X的分布近似于二项分布，并且随着球的数目N的增加，这种近似的精度也增加，所以用二项分布近似来处理超几何分布，可以减少计算量，这种近似的处理的思想方法经常用到，如用频率来代替概率

四、课后作业：配套练习

  每周一课教学反思

本周六我开设了本学期的每周一课，选择的是“二项式定理和超几何分布”，作为一轮复习的内容，也作为高考概率题的必考内容，需要将二项式定理和超几何分布的特征让学生充分地去理解。

我的设计思路是，先用抛硬币的试验来让学生概括该试验的特征，然后将抛硬币这个试验推广到一般情况，将其概括为n次独立重复试验，每次试验只有两种不同的结果。随后让学生说出当X=K的时候的概率，从而列出分布列，写出期望及其方差。随后再根据一个问题巩固二项分布的知识点。接着用取次品的试验让学生概括该试验的特征，随后让学生写出X=K时候的概率，从而列出分布列，写出期望及其方差。再利用一道例题巩固超几何分布的知识点。

课的最后，让学生自己总结如何分辨超几何分布和二项分布，强调两种分布的概率特征。

课后，这节课的不足再与，应该让学生分析题目中的条件，得出是哪种分布的结论，虽然上课是带领学生一起分析，但是会忽视学生分析错误的情况，所以需要在今后的课堂中让学生更多地参与到课堂中来，这样不仅能够及时指出学生的问题，而且有利于帮助学生培养探索分析的能力，提高学生的数学素养。