【教学目标】

1.        从不同角度深入探究典例,体会不同的思想方法，进一步掌握问题所涉及的知识理论，最终提升和发展数学能力。

2.  对比几种不同的解法，体会运用代数法或几何法解决圆的切线问题的简洁性和重要性，学会快速选择适当的方法解决圆的问题。

3.  学科核心素养：重点考查数学运算、直观想象、逻辑推理、数形结合的素养，发散思维能力。

【课堂导入】

如图，在平面直角坐标系中，已知以M为圆心的圆M：及其上一点A(2，4)．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围．

解答：（1）圆M的标准方程为，

所以圆心半径为5，所以圆心，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得．

因此，圆N的标准方程为．

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为，

设直线l的方程为，即，

则圆心M到直线l的距离为，因为BC＝OA＝，而，所以，解得或，

故直线l的方程为或．

（3）设，，因为，，，

所以 ①

因为点Q在圆M上，所以 ②

将①代入②可得，

于是点P既在圆M上，又在圆上，

从而两圆由公共点，所以，

解得，

因此，实数的取值范围是．

考点：直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算．

【知识讲解】

1、直线方程的五种形式及适用条件：                                                                                         

                                                                              ．

2、圆的标准方程和一般方程：                                                                                         

                                                                              ．

3、直线与圆的位置关系及条件：                                                                                          

                                                                              ．

4、圆与圆的位置关系及条件：                                                                                         

                                                                              ．

【典例分析】

【例1】已知点，，直线与线段MN相交，则实数的取值范围是               ．

解答：∵点，，直线与线段MN相交，

∴点，在直线的异侧或在直线上，

则，即，解得或，

所以的取值范围是．

考点：直线与线段的位置关系．

【变式1-1】已知直线l经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为               ．

解答：根据题意，分两种情况讨论：

①当直线l在两坐标轴上的截距都等于0时，直线过点，则其斜率，
则直线的方程为，即；

②当直线l在两坐标轴上的截距不等于0时，设该直线的方程为，

将代入直线方程可得，解可得，则直线方程为；

综合可得：所求直线方程为或．

考点：截距，直线的方程．

【变式1-2】已知直线l过第一象限内定点P(4，3)，与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，

（1）当△AOB面积最小时，求△AOB面积的最小值；

（2）当PA·PB取得最小值时，求直线l的方程．

解答：（1）设直线l的方程为，则点，

∵点P(4，3)在直线l上，∴，解得

当且仅当，即，时等号成立，

此时直线l的方程为，即．

（2）设直线l的倾斜角为，则，，则，

∵ ，∴时，有最小值18，此时直线l的方程为

考点：直线的方程．

【例2】当时，直线l₁：和l₂：与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时的a值为               ．

解答：如图，直线l₁：．∴过定点B(2，2)．

直线l₂：，由和，得l₂也过定点．

∵l₁与y轴交于点，l₂与x轴交于点．

∴S_{四边形OABC}＝S_△AOB＋S_△BOC＝．

∴当a＝时，S取最小值．即四边形OABC的面积最小时，a的值为．   

考点：两直线的位置关系．

【变式】在平面直角坐标系xOy中，直线l₁：与直线l₂：相交于点P，则当实数变化时，点P到直线的距离的最大值为               ．

解答：∵直线l₁：与直线l₂：的斜率乘积＝，(时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M(0，2)，N(2，0)．

∴ 两条直线的交点在以MN为直径的圆上．并且，

可得MN与直线垂直．

∴点M到直线的距离为最大值．

考点：点到直线的距离公式．

【例3】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准方程为          ；

（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；  ②；  ③．其中正确结论的序号是               ．

（写出所有正确结论的序号）

解答：（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．

（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为B在A的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以．所以．

，正确结论的序号是①②③．

考点：圆的标准方程，两点间的距离公式

【变式3-1】若圆C：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是               ．

解答：由题意知圆C的圆心，半径为，∵圆C关于直线对称，

∴ 点C在上，即，，故切线长为

，故时，切线有最小值4．

考点：圆的对称性，二次函数的最值．

【变式3-2】已知点A（0，1），B（1，0），C（t，0），点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则的最小正整数的值为                 ．   

解答：直线AC方程为，即，设D（x，y），

∵ AD≤2BD 即AD²≤4BD²

∴ ，表示圆外区域及圆上的点，

直线与圆相离，

，化简得，解得或

所以最小正整数的值为4．

考点：圆的方程的应用．

【巩固运用】

1、设点，若在圆O：上存在点N，使得∠OMN＝45°，则的取值范围是________．

解答：由题意，直线MN与圆O有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，如图，

过OA⊥MN，垂足为A，在RT△OMA中，因为∠OMN＝45°，所以，

解得，因为点，所以，解得，故的取值范围是．

．

考点：直线与圆的位置关系．

2、在平面直角坐标系中，，点在圆O：上，若，则点的横坐

标的取值范围是            ．

解答：设，由易得，由，可得A：，B：， 由得点P在圆左边弧AB上，结合条件，可得P横坐标的取值范围是．

考点：直线与圆，线性规划．

3、已知△ABC的三个顶点A(−1，0)，B(1，0)，C(3，2)，其外接圆H．

（1）求圆H的方程；

（2）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；

（3）对于线段BH上的任意一旦P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M，N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

解答：（1）由题意，A(−1，0)，B(1，0)，C(3，2)，∴ AB的垂直平分线是，

∵ BC：，BC中点是(2，1)，∴ BC的垂直平分线是，

由，得到圆心是(0，3)，∴，∴ 圆H的方程是；

（2）∵弦长为2，∴圆心到l的距离d＝3．

设l：，则，∴ ，∴ l的方程；

当直线的斜率不存在时，，也满足题意．

综上，直线l的方程是或；

（3）直线BH的方程为，设，．

因为点M是点P，N的中点，所以，

又M，N都在半径为r的圆C上，所以，

即，因为该关于x，y的方程组有解，

即以(3，2)为圆心，r为半径的圆与以为圆心，2r为半径的圆相交，

所以，又，

所以对任意成立．

而在上的值域为，

又线段BH与圆C无公共点，所以对任意成立，

即．故圆C的半径r的取值范围为．

考点：圆的标准方程．

【教学反思】

直线与圆的方程是高中数学重要的学习内容，同时与平面几何、直线、圆、圆锥曲线紧密联系环环相扣。圆的切线问题是高考数学试卷中的基础之一，更是解析几何的基础。通过定义法、几何法、待定系数法等求得所需的结果；圆的方程和圆的切线兼具“形”与“数”的特点，是沟通代数、几何与三角函数的有力工具，题型常常小巧灵活，解法多样，且魅力独特。本节是直线与圆的方程复习课，是站在高中数学整体高度上的二次学习，不仅要注意知识概念的重温与再现，更要将学生碎片化的知识系统化，结构化，对解题思想和方法的提炼与整合，从而提升学生的解题能力

复习课的教学目标是为了巩固和加深所学知识，使知识系统化；使学生在掌握复习内容的知识结构的同时，培养学生的概括能力、运用知识的能力和终身学习的习惯.恰当适量地采用“一题多解”教学，进行多角度的解题思路分析，探讨解题规律和解题方法与技巧，对学生巩固基础知识、形成知识网络，提高解题技能，培养学生的逻辑思维能力和发散思维能力，提高分析问题与解决问题的能力，势必事半功倍。数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.