椭圆

一、学习目标

1.    理解椭圆的定义；

2.    掌握椭圆的标准方程及简单几何性质；

3.    会求椭圆的离心率.

二、知识要点

1.椭圆定义：平面内，满足的动点的轨迹；

2.标准方程与几何性质：

三、课前热身

1.椭圆的焦点坐标为_______，长轴长为_______，离心率为______.

【答案】，，

2.已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（      ）

A．3     B．6        C．8            D．12

【答案】B

3.设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为_______.

【答案】

4.若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是________.

【答案】

5.已知的两个顶点，，周长为22，则顶点的轨迹方程为_________.

【答案】

四、典例分析

例1.（1）已知椭圆的焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，则的周长为_______.

（2）已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则__________.

【答案】（1）8；   （2）3.

例2.（1）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，离心率等于，则C的方程是（    ）

A．       B．        C．            D．

（2）若椭圆的焦点为，且椭圆过点，则椭圆的方程为________.

（3）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且椭圆经过点，，则的方程为____________.

【答案】（1）D；   （2）；     （3）.

例3.（1）椭圆的左，右顶点分别是，，左，右焦点分别是，.若，，成等比数列，则此椭圆的离心率为________.

（2）如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是__________．

（3）已知，是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切与点，且为线段的中点，则椭圆的离心率为_______.

【答案】（1）；   （2）；    （3） .

例4.（1）已知，是椭圆的左，右焦点，若在直线上存在点使线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是____________.

（2）已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于，两点．若，点到直线的距离不小于，

则椭圆的离心率的取值范围是（      ）

A．           B．           C．               D．

【答案】（1）； （2）A.

例5.（1）设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（      ）

A．                 B．                  C．                       D．2

（2）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，

则的最大值为_________.

【答案】（1）A；   （2）6.

例6．如图，椭圆的左、右焦点分别为过的直线交椭圆于两点，且.

（1）若，求椭圆的标准方程；

（2）若，求椭圆的离心率.

【答案】（1）椭圆的标准方程为.

（2）如图由椭圆的定义，，

从而由，有

又由，知，因此,

，从而

由,知，

因此.