综合法与向量法视角下的计算问题

授课人：许淑君

小试牛刀：

1如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为_______.

2．如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为_______________.

典型例题：

例1 如图，已知四棱锥的侧棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，点在棱上，且.

（1）证明：平面.

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

例2 如图，平面平面，且为正方形，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成的角的正弦值.

例3如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，，，，平面平面.

（1）求证：平面；

（2）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.

课后反思：

本节课是立体几何中空间向量这一单元复习课，本着“载体服务于核心内容和核心思想”这一原则，用学生熟悉的基本载体来设计问题，包括形状、大小、位置关系，来强化立体几何中的基本度量关系，以提高复习的效率。学生进一步掌握空间向量的概念及坐标表示，能借助空间向量来证明和求解线线、线面、面面的相关问题（平行、垂直、夹角、距离），感受空间问题处理过程中三种方法（综合法、向量法、坐标法）的优劣，尤其是坐标法在处理以上问题时具有一定优势。

在设计时充分参考了课程标准、考试大纲、考试说明，结合目前复习的进度。在教学过程中，每一个校问题的预设时间是3分钟，暴露出了学生作图不熟练、不规范的问题，这在以后的复习中还得注意。常规题的复习还是达到了效果，给学生时间，让他们进行思维的生成，这才是教学的出发点，学生通过对比几何法、向量法、坐标法，体会到各种方法的使用情形和优劣，思辨论证，逐渐构建知识体系，网络化、具体化。对于基本运算，学生也是完成得不错，对于较复杂的运算即存在性问题，由于时间的问题，就没有机会看到了。这应该算是本堂课的遗憾。

最后，本堂课的最后点出，几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。人们通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质，让学生对所学进行更高层次的升华。

几点思考：

（1）复习中变式训练几个设问比较适宜？

（2）是选用一题多问，还是两个解答题？

（3）方法的讲解如何重点突出向量法，几何法的讲解适宜？

这也是我下阶段复习需要解决和突破的问题。