正弦定理与余弦定理的复习

【教学目标】

知识目标：

掌握正弦定理与余弦定理．

能力目标：

通过应用举例与数学知识的应用，培养学生分析问题和解决问题的能力．

【教学重点】

正弦定理与余弦定理及其应用．

【教学难点】

正弦定理与余弦定理及其应用．

【教学设计】

本课教学中，应用安排了5道例题，介绍利用正弦定理解三角形的方法．例1是基础题，目的是让学生熟悉公式．例2和例3是突破难点的题目，需要分情况进行讨论，介绍了讨论的方法和讨论的两种结果．例4是已知两边及夹角，求第三边的示例，可以直接应用余弦定理；例5是已知三边的长求最大角和最小角的示例．由于余弦函数在区间内是单调函数，所以知道余弦值求角时，没有必要进行讨论．这里求最大角与最小角，是起到强化对“大边对大角，小边对小角”的认识．利用余弦定理求一个角，求第二个角的时候，可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

1课时．(45分钟)

【教学过程】

正弦定理：

在三角形中，各边与它所对的角的正弦之比相等.

即                      

利用正弦定理可以求解下列问题：

（1）已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角.

（2）已知三角形的两边和其中一边所对角，求其他两角和一边. 余弦定理：

余弦定理：

三角形中任意一边的平方等于其余两边的平方和减去这两边与其夹角余弦乘积的两倍. 即

显然，当时，有．这就是说，勾股定理是余弦定理的特例．

公式（1.8）经变形后可以写成

利用余弦定理可以求解下列问题：

(1) 已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边和其他的两个角.

(2) 已知三角形的三边，求三个角.

*巩固知识 典型例题

例1   已知在中， ，，，求.

分析  这是已知三角形的两个角和一边，求其他边的问题，可以直接应用正弦定理．

解  由于     ，

所以      ．

例2  已知在中，，，，求B．

分析  这是已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角，可以首先直接应用正弦定理求出角的正弦值，然后再求出角．

解    由于     ，

所以  ．

由，知，故，所以或．

例3  已知在中，，，，求．

解         ．

由于，所以，即，所以．

【注意】

已知三角形的两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，要讨论这个角的取值范围，避免发生错误.

例4  在中，，，，求．

分析  这是已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边的问题，可以直接应用余弦定理．

解   =，

所以.

例5    在中，，，，求ABC中的最大角和最小角（精确到）.

    分析  三角形中大边对大角，小边对小角．

解    由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.9），

有   

所以          ，

=，

所以       . 

理论升华 整体建构

思考并回答下面的问题：

正弦定理、余弦定理的内容．

结论：

正弦定理：

余弦定理：

继续探索 活动探究

(1) 书面作业：教材习题6．1     第1题

(2) 编写一道有关余弦定理或者正弦定理的题目。

课后反思：

在备课的时候，我把以前的教案拿出来细细的品味和琢磨了一下，以前在上这节课是时，我是直接导入，把概念通过学生的预习，和课上给学生时间阅读，然后加以引导，没有花太多的时间去引导，只是以题来强化，没有强化概念的生成过程，以至于在练习中要强调多次学生依然会出错，在这个基础上，结合培训时的理念，公开课我就想尝试着把概念的生成过程给学生展现一下，具体探究。在处理正余弦定理的问题上，我本来的设计是让学生发现问题，探究问题，在改正问题，但这一预设与上课的结果有所不同，完全出乎我的预料，时间浪费的有点多，在定义的讲解上没收住，要多利用形象思维考虑问题，利用多媒体、举例、学生动手做动笔练等多种教学手段，充分调动了学生学习的积极性，既不是一味的讲，也不是一味的练。注重了知识的层次性和渐进性，抓住重点，突破难点。

另外，在今后的工作中，板书设计要精心设计，每一步都要做到精致，一是充分备好学生，在上课之前一定要充分去了解学生的学习状况及各方面的能。二是充分备好教材，针对教材中的各个知识点，精心设计导学案，让学生能够更好、更快地接受和掌握相关的知识内容；三是充分备好教学过程，在教学过程中会出现很多意想不到的情况，所以要充分准备好在教学过程中随时会出现的情况。