立体几何综合问题

1.会解决简单的立体几何问题.

2．会用向量方法证明直线、平面位置关系的有关命题.

3．会用向量方法求解两异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的问题.4．培养学生的直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理、数学抽象等核心数学素养.

5. 高考预测：

（1）立体几何中的动态问题.

（2）立体几何中的探索性问题.

（3）平面图形的翻折问题.

（4）立体几何与传统文化

（5）利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题中的一问为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向．空间的角与距离的计算（特别是角的计算）是高考热点，一般以大题的条件或一小问形式呈现，考查用向量方法解决立体几何问题，将空间几何元素之间的位置关系转化为数量关系，并通过计算解决立体几何问题．距离问题往往在与有关面积、体积的计算中加以考查．此类问题往往属于“证算并重”题，即第一问用几何法证明平行关系或垂直关系，第二问则通过建立空间直角坐标系，利用空间向量方法进一步求角或距离.

【典例剖析】

高频考点一 ：立体几何中的动态问题

【典例1】（2020·四川南充·高三其他（理））已知三条射线，，两两所成的角都是60°.点在上，点在内运动，，则点的轨迹长度为(    )

A．B．C．D．

【总结提升】

1.立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求轨迹的长度及动角的范围等．

2．一般是根据线、面垂直，线、面平行的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹．

【变式探究】

（2020·河北新华·石家庄二中高三月考（理））如图，正方体中，P为底面上的动点，于E，且则点P的轨迹是（    ）

A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分

高频考点二 ：  立体几何中的探索性问题

【典例2】（2019·天津耀华中学高考模拟（理））如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面垂直于和，是棱的中点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求二面角的正弦值；

(Ⅲ)在线段上是否存在一点使得与平面所成角的正弦值为若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.

【典例3】（2020·全国）如图，是的直径，点B是上与A，C不重合的动点，平面.

（1）当点B在什么位置时，平面平面，并证明之；

（2）请判断，当点B在上运动时，会不会使得，若存在这样的点B，请确定点B的位置，若不存在，请说明理由.

【典例4】（2020·全国高二课时练习）如图，在三棱柱中，平面，，.

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）.

【规律方法】

求解立体几何中探索问题的策略

1．条件探索性问题

(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；

(3)把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．

如本例(2)先根据题意猜测点的位置．再结合证明．一般探索点存在问题，点多为中点或三等分点中的一个．

2．结论探索性问题

首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．