《二轮复习——数列的求和》教学设计

一、学情分析

学生通过一轮复习中知识点的全面覆盖对数列的递推关系与求和方法有了一定的认识，具有一定的分析问题与解决问题的能力，也具备了一定的运算能力与技巧，经历了对数列排列规律的探索与发现过程，掌握了一定的研究经验，因此可以在变式训练与解题多样性中归纳总结出不同的求和方法所对应的数列类型.

二、教学目标

1.掌握数列通项与前n项和之间的转化关系；

2.掌握常见的数列递推关系与求和方法，如裂项相消，错位相减，分组求和等等；

3.通过对数列通项结构特征的分析培养学生分析问题与解决问题的能力.

三、教学重难点

1.教学重点：常见的数列求和方法

2.教学难点：数列通项的结构特征分析

四、教学过程

数列一直是全国高考中的热点问题，在各地的高考卷中多次出现对数列通项结构的分析进行求和的考查，本节课我们来研究常见的几种求和方法以及所对应的数列通项类型.

【引例】已知数列的通项公式为，求数列的前项和.

【设计意图】学生自主观察数列通项的结构特征，寻求对应的求和方法，通过一题多解培养学生的发散思维：（1）含有的数列分奇偶讨论，写成分段数列，采用分组求和法；（2）决定符号，决定数值大小，由于符号的差异，能发现连续两项的和为常数，采用并项求和法；（3）错位相减法.

对由引例所引发的三种求和方法巩固深化：

1.分组求和法

适用于：（1）分段数列：；

（2），是两个不同类型的数列.

【例1】已知等差数列的公差为d，且方程的两个根分别为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【设计意图】第（2）问的数列结构为两个不同类型的数列即等差数列与等比数列的和，将其拆分采用分组求和法，结合引例对分组求和法所针对的数列类型进行补充.

2.并项求和法

适用于：（1）；

（2）连续两项的和所形成的新数列可求和：.

【例2】（2020德州二模）已知数列的前项和为，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）求.

【设计意图】选题从高考真题出发，以明确高考知识点的分布与考查方法，达到引起学生重视的目的，本题的数列结构与引例相比稍作调整，出现了平方结构，那么连续两项的和由于符号的差异，两两结合可利用平方差公式得到关于的一次函数，进而利用等差数列的求和公式进行求和，深化了针对形如的结构采用并项求和法的思想，也涉及到了等差数列利用公式法进行求和运算.

【变式】（2021八省联考压力性测试）已知各项都为正数的数列满足.

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，，求的通项公式.

【设计意图】本节课开设不久前刚经历过八省联考压力性测试，通过考题再回顾明确高考频点.本题以第（1）问的新数列的构造作为铺路，呈现了数列的结构特征是，即连续两项的和所形成的数列为等比数列，可求和，故采用并项求和法.

3.错位相减法

适用于：，其中是等差数列，是等比数列.

重点与易错点：错位对齐，求和结果的化简.

【例3】已知数列的前项和为，且，数列满足.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【设计意图】本题第（1）问考查利用数列的和项关系求解数列的通项，条件中出现“”的结构，需要引导学生意识到这是求和运算，强化对问题本质的理解；第（2）问考查错位相减法，在教学中通过板书引领学生加深对“错位对齐”的理解，加强学生的运算能力.

【思考】除了引例所提出的三种数列求和方法，还有哪些常用的求和方法？

4.裂项相消法

适用于：（1）分式结构且分母是乘积形式；

（2）分母有根式，实现分母有理化.

【例4】（2020福建前田）设数列的前项和为，且，为正项等比数列，且，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求的前项和.

【变式1】第（2）问若改为“”呢？

【变式2】第（2）问若改为“”呢？

【设计意图】使学生在变式训练中深化对运用裂项相消法求和的数列结构特征，并通过变式2的设置将裂项相消法与分段数列相结合，变相说明了分段数列未必采用分组求和法，使学生更清楚地意识到探求数列求和问题的本质在于数列的结构特征.

5.寻求规律求和

【例5】（2020全国卷Ⅰ）已知公比大于1的等比数列满足，.

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间（）中项的个数，求数列的前100项和.

【设计意图】新高考模式下对于数列的考查趋向于多元化，本题的设置使学生在探索过程中善于发现数列本身所具备的规律性，如周期性等等，提供学生解决数列问题的一种新手段、新思路，在实践中体验数学学习的趣味性.

【课堂小结】

1.常用的数列求和方法：分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法.

2.思想方法：转化思想、运算求解能力

五、教学反思

“把握数学本质，启发学生思考，改进教学”是《新课标》的基本理念之一，强 调“高中数学教学以发展数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，启发思考，引导学生把握数学内容的本质”.

依据新课标理念，“数列求和”的教学不能满足于教会学生会求一些常见的求和问题，教师应通过适当的例题启发引导学生积极地思考，感悟其数学本质和方法本质，达到自觉领悟，从而学会分析、思考、尝试，探寻问题解决的方法．

简单来说，数列求和，就是求解一列数的和，如果面对的是没什么规律的一列数，或者有限的几个数的和，那就直接相加即可．例如，统计我国从1984年参加奥运会至今所获得的奥运金牌数，将历届获得的金牌数加起来便可，直截了当，这样也就消除了学生对数列求和的神秘感．当然，我们现在所研究的数列求和，是针对具有一定规律的一列数的求和，结合等差、等比数列前项和公式的推导，其前项和，即刻画为关于项数的函数表达式．这就是数列求和知识的本质所在，先要让学生清楚这一点，那么学生的学习思考便有了明确的方向．因此数列求和，就是面对具有一定内在规律的一列数，求解前项和关于项数的代数关系式.清楚了数列求和的知识本质后，那么解题的方法本质呢？就是通过研究数列的规律特征，适当变形，进行运算化简，获得.本节课通过例题思考分析，启发学生感悟数列求和的方法实质其实就是化简，而要实现化简的关键手段是恰当的转化，使学生更好地体会转化化归的数学思想．