A. 掌握椭圆的几何性质,掌握a,b,c,e的几何意义及a,b,c,e之间的相互关系.

B.尝试利用椭圆的方程研究椭圆的几何性质.

C.尝试利用椭圆的知识解决简单的实际问题.

1.数学抽象：椭圆的几何性质

2.逻辑推理：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

3.数学运算：利用椭圆的方程研究椭圆的几何性

4.数学建模：利用椭圆的知识解决应用问题

5.直观想象：离心率的几何意义

一、 创设问题情境，探究新知

下面我们由椭圆的方程来研究椭圆具有的几何性质

已知椭圆C的方程为根据这个方程完成下列任务：
  （1）已观察方程中与是否有取值范围，由此指出椭圆C在

平面直角坐标系中的位置特征；
   （2）指出椭圆C是否关于轴、 轴、原点对称；
  （3）指出椭圆C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标.

椭圆的几何性质

1.已知椭圆C:=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

解析:∵a²=4+2²=8,∴a=2.∴e=.故选C.

答案:C

2.判断

(1)椭圆=1(a>b>0)的长轴长是a. (　　)

(2)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为=1.            (　　)

(3)设F为椭圆=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). (　　)

答案:(1)×　(2)×　(3)√

（1）根据椭圆离心率的定义判断椭圆离心率的取值范围；
  （2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明。

思考1.    离心率对椭圆扁圆程度的影响?

提示:如图所示,在Rt△BF₂O中,cos∠BF₂O=,记e=,则0<e<1,e越大,∠BF₂O越小,椭圆越扁;e越小,∠BF₂O越大,椭圆越接近于圆.

二、典例解析

例1已知椭圆C₁:=1,设椭圆C₂与椭圆C₁的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C₂的焦点在y轴上.

(1)求椭圆C₁的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率;

(2)写出椭圆C₂的方程,并研究其性质.

解:(1)由椭圆C₁:=1,可得其半长轴长为10,半短轴长为8,焦点坐标为(6,0),(-6,0), 离心率e=.

(2)椭圆C₂:=1.性质如下:

①范围:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=.

典例解讨论椭圆的几何性质时,一定要将方程化为标准方程,标准方程能将参数的几何意义凸显出来,另外要抓住椭圆中a²-b²=c²这一核心关系式.

跟踪训练1 求椭圆m²x²+4m²y²=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.

解:由已知得=1(m>0),因为0<m²<4m²,所以.

所以椭圆的焦点在x轴上,并且半长轴长a=,

半短轴长b=,半焦距c=,所以椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=,

焦点坐标为,顶点坐标为,离心率e=.

例2  椭圆 =1(a>b>0)的两焦点为F₁,F₂,以F₁F₂为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为　　　　　. 

解析:方法一:如图,∵△DF₁F₂为正三角形,N为DF₂的中点,

∴F₁N⊥F₂N.∵|NF₂|=|OF₂|=c,

∴|NF₁|=c.

由椭圆的定义可知|NF₁|+|NF₂|=2a,

∴c+c=2a,∴a=.     ∴e=-1.

方法二:注意到焦点三角形NF₁F₂中,∠NF₁F₂=30°,∠NF₂F₁=60°,∠F₁NF₂=90°,则由离心率的焦点三角形公式,可得e=-1.

答案:-1

变式1  若例2改为如下:椭圆=1(a>b>0)的两焦点F₁,F₂,以F₁F₂为底边作等腰直角三角形,其三角形顶点恰好落在椭圆的顶点处,则椭圆的离心率为　　　　　. 

解析:根据等腰直角三角形的特征可知a²+a²=4c²,即=e=.

答案:

例3  已知椭圆=1(a>b>0),F₁,F₂分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF₁⊥PF₂,则椭圆的离心率的取值范围为　　　　　. 

解析:由PF₁⊥PF₂,知△F₁PF₂是直角三角形,

所以|OP|=c≥b,即c²≥a²-c²,所以a≤c.

因为e=,0<e<1,所以≤e<1.

答案:

               求椭圆离心率的值或取值范围的常用方法

(3)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立关于a,b,c的关系式,借助于a²=b²+c²,转化为关于a,c的齐次方程(或不等式),再将方程(或不等式)两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范围).

(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a²=b²+c²求出c(或a),再代入公式e=求解.

(2)几何法:若借助数形结合,可挖掘涉及几何图形的性质,再借助a²=b²+c²,找到a与c的关系或求出a与c,代入e=即可得到.

跟踪训练2 (1)已知椭圆=1(a>b>0)过点(1,),其离心率的取值范围是,则椭圆短轴长的最大值是(　　)

A.4                          B.3                    C.           D.2

(2)设F₁,F₂分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为　　　　　. 

解析:(1)由题意,可得=1,即a²=.

因为a²=b²+c²,所以=3-b²,离心率的取值范围是,所以≤3-b²≤,解得b∈,

所以椭圆短轴长的最大值是.

(2)由题意,知∠F₂F₁P=∠F₂PF₁=30°,∴∠PF₂x=60°.∴|PF₂|=2×=3a-2c.∵|F₁F₂|=2c,|F₁F₂|=|PF₂|,∴3a-2c=2c,∴e=.    答案:(1)C　(2)

(3)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁,F₂,右顶点为A,上顶点为B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为|F₁F₂|,求椭圆C的离心率.

解:由题意知A(a,0),B(0,b),从而直线AB的方程为=1,即bx+ay-ab=0,又|F₁F₂|=2c,∴c.    ∵b²=a²-c²,∴3a⁴-7a²c²+2c⁴=0,

解得a²=2c²或3a²=c²(舍去),∴e=.

例4. 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如右图所示.假设航天员到地球表面的最近距离为d₁,最远距离为d₂,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球上的人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为(　　)

A.d₁+d₂+R              B.d₂-d₁+2R       C.d₂+d₁-2R            D.d₁+d₂

解析:设椭圆的方程为=1(a>b>0),半焦距为c,

两焦点分别为F₁,F₂,飞行中的航天员为点P,

由已知可得则2a=d₁+d₂+2R,

故传送神秘信号的最短距离为|PF₁|+|PF₂|-2R=2a-2R=d₁+d₂.

答案:D

通过特例，通过椭圆的标准方程，运用方程与函数的思想，获得椭圆的几何性质，进而推广到一般。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。

通过典型例题，掌握根据椭圆的基本几何性质及其简单运用，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.已知点(3,2)在椭圆=1上,则(　　)

A.点(-3,-2)不在椭圆上     B.点(3,-2)不在椭圆上

C.点(-3,2)在椭圆上   D.无法判断点(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在椭圆上

解析:由椭圆以坐标轴为对称轴,以原点为对称中心可知,点(-3,2)在椭圆上,故选C.

答案:C

2.设AB是椭圆=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P₁,P₂,…,P₉₉,F₁为椭圆的左焦点,则|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₉₉|+|F₁B|的值是(　　)

A.98a                          B.99a                  C.100a                   D.101a

解析:由椭圆的定义及其对称性可知|F₁P₁|+|F₁P₉₉|=|F₁P₂|+|F₁P₉₈|=…=|F₁P₄₉|+|F₁P₅₁|=|F₁A|+|F₁B|=2a,|F₁P₅₀|=a,故结果应为50×2a+|F₁P₅₀|=101a.

答案:D

3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)

A.                           B.                  C.              D.

解析:不妨设椭圆的左、右焦点分别为F₁,F₂,B为椭圆的上顶点.依题意可知,△BF₁F₂是正三角形.∵在Rt△OBF₂中,|OF₂|=c,|BF₂|=a,∠OF₂B=60°,∴cos 60°=.即椭圆的离心率e=,故选A.

答案:A

4.已知椭圆=1左、右焦点分别为F₁,F₂,上、下顶点分别为B₁,B₂,则四边形B₁F₁B₂F₂的面积为　　　　　. 

解析:根据题意,设四边形B₁F₁B₂F₂的面积为S,椭圆的标准方程为=1,其中a=,b=,则c==1, 则F₁(-1,0),F₂(1,0),B₁(0,),B₂(0,-),

即|OF₁|=|OF₂|=1,|OB₁|=|OB₂|=,

则S=4×=4××|OB₁|×|OF₁|=2.

答案:2

5.万众瞩目的北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕,继2008年北京奥运会之后,国家体育场(又名鸟巢)将再次承办奥运会开幕式.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同、扁平程度相同的椭圆.已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为　　　　　cm. 

解析:因为两个椭圆的扁平程度相同,所以椭圆的离心率相同,

,即.所以,所以,所以小椭圆的长轴长为20 cm.

答案:20

6.已知椭圆x²+(m+3)y²=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.

解:椭圆方程可化为=1(m>0),

∵m->0,∴m>.

∴a²=m,b²=,c=.由e=,得,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x²+=1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为;四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。