正弦、余弦函数的图像与性质

【教材分析】

    《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课的主要内容就是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】

1. 会根据图像观察得出正弦函数、余弦函数的性质；能用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单问题；

　　2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力；

【教学重点难点】

教学重点：正弦函数和余弦函数的性质

　　教学难点：根据图像得出正弦函数和余弦函数的性质

【学情分析】

在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质的能力。高一学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

新授课教学基本环节：复习导入、展示目标→合作探究、研究性质→数学运用→反思总结。

【教学过程】

一、复习导入、展示目标

（一）问题情境

复习：如何作出正弦函数、余弦函数在一个周期内的图像？

生：五点法。

要求学生回忆哪五个关键点。

引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？

生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

提出本节课学习目标——正弦、余弦函数的图像与性质。

二、合作探索，研究性质

给出正弦、余弦函数的图像，让学生观察，并思考下列问题：

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).

2.值域

(1)根据图像，正余弦函数的值域：

因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,

所以,

即

也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.

(2)最值

正弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

3.周期性

由知:

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

正弦曲线关于原点对称，所以正弦函数是奇函数。

再由

可知:()为奇函数,其图像关于原点对称

()为偶函数,其图像关于轴对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是,

对称轴是直线;

余弦函数的对称中心是,

对称轴是直线

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图像与轴(中轴线)的交点).

6.单调性

从的图像上可看出:

当时,曲线逐渐上升,的值由增大到

当时,曲线逐渐下降,的值由减小到

结合上述周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

三、数学运用

例1、求函数y=sin(2x+)的单调增区间．

解析：求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．

解：令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]．

由  ≤2x+≤得   ≤x≤

故函数y=sinz的单调增区间为  [，  ]（ｋ∈Ｚ）

点评：“整体思想”解题

变式训练1. 求函数y=sin(-2x+)的单调增区间

解：令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，]

故函数sin(-2x+)的单调增区间为[ ， ]（ｋ∈Ｚ）．

例2：判断函数的奇偶性

解析：判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对(1)用诱导公式化简后，更便于判断．

解：∵=，

    ∴ 

   所以函数为偶函数．

点评：判断函数的奇偶性时， 判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．

变式训练2. )

解：函数的定义域为R，

  =

        ===

所以函数）为奇函数．

例3. 比较sin250⁰、sin260⁰的大小

解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小

解：∵y=sinx在[，]（k∈Z），上是单调减函数， 

       又   250⁰<260⁰ ∴ sin250⁰>sin260⁰

点评：比较同名的三角函数值的大小，找到单  调区间，运用单调性即可，若比较复杂，

先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．

变式训练3. cos

解：cos

由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

四、反思总结，当堂检测

教师组织学生反思总结本节课的主要内容和体现的数学思想方法。

课堂小结：

1、数学知识：正、余弦函数的图像性质，并会运用性质解决有关问题

2、数学思想方法：数形结合、整体思想。

五、板书设计

正弦函数和余弦函数的性质

一、正弦函数的性质，余弦函数的性质                      例1

                                                        例2

定义域、值域、单调、奇偶、周期对称                    例3