课题：1.3.3  函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

一．教学目标

1.知识与技能：结合物理中的简谐振动，了解y＝Asin(ωt＋φ)(A>0, ω>0)中参量的实际意义；借助几何画板动态演示三角函数图象，研究参量A，ω，φ对函数图象的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律.

    2.过程与方法：经历y=sinx到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0, ω>0)图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力；在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想.

3.情感态度与价值观：通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；通过合作学习，培养学生团结协作的精神.

二．教学重点、难点

1.教学重点：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0, ω>0)的图象.  

2.教学难点：在观察图象变换中发现规律,并能用自己的语言来表达；参量ω对图象的影响.

三．教学方法与教学手段

1.教学方法：问题教学法、合作学习法.

2.教学手段：多媒体视频、几何画板课件.

四．教学过程

（一）创设情境，引出模型

1.借助视频创设情境，引出函数y＝Asin(ωt＋φ)(A>0, ω>0).

2.介绍其中几个量的物理意义：A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称为振动的振幅；是往复振动一次所需的时间，称为振动的周期；是单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率；ωt＋φ称为相位，t=0的相位φ称为初相.

【设计意图】通过生活中的现象引出函数y＝Asin(ωt＋φ)(A>0, ω>0)，得出三个参量A，ω，φ；结合物理学中简谐振动创设问题情境,加强数学与物理学科的联系,让学生体会到数学的应用价值.

（二）确定方法，确立方向

问题1：如何研究三个参量A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响？

(分而治之，逐个击破，然后再综合分析).

若先研究A，令ω=1，φ=0；研究ω，令A=1，φ=0；研究φ，令A=1，ω=1.即分别研究函数：y＝Asin x、y＝sinωx、y＝sin(x＋φ)的图象.（黑板板书）

【设计意图】对于三个参量采取“分而治之”，控制变量的方法，明确研究问题的方向，为下面的逐个探究做好铺垫.

（三）师生探究，总结结论

1.振幅变换

问题2：你准备先研究哪一个参量对函数图象的影响？怎样研究？

(特殊化处理，令A=1，得正弦函数y=sinx，令A=2，得函数y=2sinx.然后画出它们的图象).

复习正弦函数y=sinx图象的画法——“五点法画图”.师生共同探究如何画出函数y=2sinx图象，并通过观察它们的图象，发现两函数图象之间的关系：y=2sinx的图象可以看做是将y=sinx的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍而得到的（PPT上投出列表,几何画板描点、画图）.正弦函数的图象也可以由单位圆得出，A变为原来2倍也就是圆的半径变为了原来的2倍，这体现了单位圆的模型在研究三角函数问题上的一脉相承.

再对A取其他的值，如A=等，观察图象并得出结论：一般地，函数y＝Asinx(A>0且A≠1)的图象，可以看做将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍而得到的.

【设计意图】参量A对图象的影响较为直观，学生能够较为容易的得出感性认识，通过几何画板动态演示加深学生对于振幅变换的理解；由圆半径的变化引出图象上的点纵坐标的变化，体现圆的模型在研究三角函数图象问题时的重要作用.

2.周期变换

问题3：研究A对这个函数图象的影响时用了哪些方法？

(由特殊到一般、具体到抽象等方法研究出参量A对图象的影响).

引导学生继续用研究A的方法自主探究ω对函数的影响.（学生自主探究，教师从旁指导）

通过列表—描点—作图，得出函数y=sin2x的图象.发现：函数y=sin2x的图象的周期变为原来的一半, 图象看起来就像是被压缩到了原来的一半.说明两个函数图象也是有关系的：纵坐标不变的情况下，横坐标变为原来的一半.

演绎推理：要与函数y=sinx图象上横坐标为t的点的纵坐标相同，函数y=sin2x的图象上对应的点的横坐标只需要取就够了.看起来就像图象被压缩了一半.

再对ω取其他的值，如ω=等，观察图象并得出结论：一般地，函数y＝sinωx(ω>0且ω≠1)的图象，可以看做将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍而得到的.

【设计意图】经历了振幅A的研究过程，让学生尝试自主探究参量ω对函数图象的影响.学生能够较容易说出周期改变时图象变化的直观感受（图象压缩），但不易说出对应点坐标发生的相应变化，教师应适时引导,以突出学生的主体地位，实现难点突破.

3.平移变换

师引导学生继续特殊化处理研究φ，φ分别取0和1，得到函数y=sinx和函数y=sin（x+1）,并探究函数y=sin（x+1）图象:

追问1：函数y=sin（x+1）图象是什么样的呢？

(可以由y=sinx图象平移而得到,即将图象上所有的点向左平移一个单位).

追问2：你是如何得出这个结论的？

(根据函数图象平移的结论：“左加右减”).

师通过图象上的任意点做出相应的证明，并引导学生得出一般结论：解析式由y=sinx到y=sin（x+φ），可以看作对应函数图象上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度.（学生容易忽略φ的正负，教师适时引导）

一位学生不一定能说的完整，可以让其他学生适当补充，师适时辅助，帮助学生总结出结论.

【设计意图】经历了振幅和周期变换研究的过程，学生对于参量的研究方法有了一定的认识，可以继续采用特殊到一般的方法研究φ对函数图象影响，当然也可以借助图象平移的结论：“左加右减”直接得出.

（四）互动合作，实践提升

我们分别研究了函数y=2sinx，y=sin2x，y=sin（x+1）图象，并研究得到它们都可以由y=sinx的图象变换得到.

问题4：函数y=sin（2x+1）的图象和函数y=sin2x的图象有什么关系？

学生自主探究，小组合作，展示探索结果：

函数y=sin（2x+1）的图象可以看做是将函数y=sin2x的图象上所有点向左平移个单位而得到的.

追问：为什么？

(x=0时sin2x=0，而此时要使sin（2x+1）=0.而不是x=-1).

结论：令2x等于z，那么由函数y=sinz到函数y=sin（z+1），z左移一个单位， x只需要向左平移个单位就可以了.在这个过程中为了能够直观体现出x的平移的量，可以将y=sin（2x+1）变形为，直接看出向左平移个单位.

一般结论：函数y=sin（ωx+φ）（ω>0,φ≠0）的图象，可以看做是将函数y=sinωx的图象上所有的点向左（φ>0）或向右（φ<0）平移个单位长度而得到的.

问题5：函数y=sin（2x+1）的图象是如何由函数y=sinx的图象变换得到的？

【设计意图】学生通过合作互助寻找ω≠1时的平移量，加深对平移问题本质的认识；教师借助“换元思想”提升问题层次认识，实现重难点突破.

将A对函数图象的影响添加进来，让学生总结变换方式.

例如：函数y＝3sin(2x＋1)的图象可以由函数y=sinx的图象如何变换得到？

思考题：函数y＝Asin(ωx＋φ)（A>0, ω>0）的图象是如何由函数y=sinx的图象变换得到的？

五．课堂小结

1.关于参量A、ω、φ的三种变换以及ω≠1时的平移变换.

2.研究这类问题的一般方法：由特殊到一般、具体到抽象以及数形结合的思想.