《直线的方程（3）》教学设计

【教学目标】

1、知识与技能：掌握直线方程的几种表达形式以及每种表达形式中漏掉的情况；

2、过程与方法：通过直线方程的学习，了解直线“数”与“形”的关系，体会数形结合与分类讨论的数学思想；

3、情感、态度与价值观：营造民主和谐的课堂氛围。

【教学重点】

点斜式方程与截距式方程的应用

【教学难点】

直线方程表达形式运用的条件

【教学过程】

一、复习回顾

【设计意图】通过回顾5种形式的直线方程的所需条件与局限性，为之后选择直线方程的哪一种形式更容易解决问题提供依据.

二、例题讲解

【（一）截距问题】

【例题】 已知一条直线经过点P（2,3），分别求满足下列条件的直线方程：

（1）在两坐标轴上的截距相等；

【变式1】在两坐标轴上的截距互为相反数；

【变式2】在两坐标轴上的截距绝对值相等；

（2）与坐标轴围成一个等腰直角三角形；

（3）在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍；

【变式3】在x轴上的截距与它在y轴上的截距之比为3:1；

（4）与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点：

u 求?ABC的面积的最小值及此时直线的方程；

u 求PA?PB的最小值及此时直线的方程.

【设计意图】由于时间关系，因此只设计了一个例题将所有的题型涵盖进来，通过本题意在：其一是根据题目条件有目的地从5种形式的方程中择其一而行，并再次强调各种方程的局限性，加深学生的印象；其二是对于与直线有关的最值问题，建立与函数知识的关系，注重目标函数的定义域。

【知识点1】根据截距关系确定直线方程

解析几何从图形过渡到代数，其重要的一个数学思想是数形结合思想，因此对于问题的解决可以考虑从几何角度与代数角度解决：

方法一——图象法：借助作图确定直线的斜率，但容易忽略直线过原点的情形；

方法二——点斜式：易忽略讨论斜率是否存在的情形；

方法三——截距式：易忽略截距为0的情形。

总结：（1）过定点（不含原点）的直线在两坐标轴上的截距相等→两解；

（2）过定点（不含原点）的直线在两坐标轴上的截距互为相反数→两解；

（3）过定点（不含原点）的直线在两坐标轴上的截距绝对值相等→三解。

【知识点2】与直线方程有关的最值问题

这一类问题主要考查以下三点：

（1）解决与截距有关的问题；

（2）解决与面积、线段长有关的问题；

（3）解决与最值有关的问题。

解决这一类问题的策略：

（1）根据问题的条件和结论，恰当的选用直线方程的形式；

（2）引入参数，建立目标函数，利用函数知识解决；

（3）数形结合法，利用图形的直观形象求最值。

【（二）定点问题】

【引例】设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，当k取任意实数时，这样的直线具有什么共同特点？

【设计意图】从方程的点斜式形式入手，经过定点的直线有无数条，当斜率存在时，可设直线方程为，当取不同的值时，它就表示不同的直线，但每条直线都经过定点，当取遍所有允许的值后，这个方程叫做过定点的直线系方程，从而引入定点问题。

【例1】直线，当变化时，直线通过定点          .

【例2】已知直线：.

（1）求证：无论为何值时，直线总经过第一象限；

（2）为使直线不经过第二象限，求的取值范围.

【知识点3】含参数的直线过定点问题

方法一：直接法——将已知方程化为点斜式方程，进而得到定点；

方法二：方程法——将已知方程整理成关于参数的方程，由于直线过定点，则关于参数的方程应有无穷多个解，进而得到定点；

方法三：任意法——任取其中两条特殊直线，它们的交点即所有直线所过的定点。

三、课堂小结

本节课学习了以下内容：

1．直线方程的5种形式及其局限性；

2．与截距相关问题的解决策略：点斜式、截距式；

3．含参数的直线过定点问题的解决策略．

数学思想：数形结合、分类讨论

《直线的方程（3）》教学反思

结束立体几何的教学后，本周开始进入解析几何的教学。解析几何即从代数的角度来研究几何问题，因而本章的教学中需要加强两方面的训练：运算与数形结合的数学思想。本节课在研究五类直线方程的基础上，我主要分析了两类问题——截距问题与定点问题，通过设计一系列的问题串，引导学生从不同的角度解决问题，并分析比较这几种方法的优劣，便于学生在解决这一类题型时选择失误率较低的方法，具体流程如下：

问题一（截距问题）：已知直线经过点P（2,3），分别求出满足下列条件的直线方程：（1）在两坐标轴上的截距相等；（2）截距互为相反数；（3）截距绝对值相等；（4）与两坐标轴围成等腰直角三角形；（5）在x轴上的截距是它在y轴上截距的3倍变式：在x轴上的截距与它在y轴上截距的比值为3:1；（6）与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求三角形ABC面积的最大值以及此时直线的方程；（7）与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，求PA?PB的最小值。以第（1）小问为例：鉴于之前所布置的预习作业，我发现极少部分学生善于运用数形结合的思想，此种方法的优点在于易于从图形中得出相关结论，但本法仅适用于填空题且容易忽略直线过原点的情形。而从解答题的角度出发，引导学生从所学的5类直线方程入手，选择其一进行攻克，根据已知条件，学生能较快地反应出可以利用点斜式、截距式解题，在讲解过程中，不断向学生强调使用这两类方程的限制条件，渗透分类讨论的思想。最后，将这三种方法呈现在黑板上后，让学生进行梳理，让学生感受到利用图象法、截距式法容易出现漏解的情形，但计算简单，而点斜式法计算复杂但不易出错。

问题二（定点问题）：设直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，当k取任意实数时，这样的直线具有什么共同特点？从学生所熟悉的点斜式形式入手，引出含参数的直线方程过定点问题，并通过例1与例2的难度加深总结求定点问题的方法。

在教学中，我发现回到代数问题中去，学生的薄弱点在于：（1）对于高一所学的函数、线性规划与基本不等式等模块内容记忆缺失，因而在解析几何中遇到的最值问题等难以下手；（2）部分学生对于数形结合思想的运用弱化，很多解析几何问题不知道结合图象解题，导致错误频频甚至束手无策，在教学中应不断向学生强调图形的重要性；（3）由于设置的习题较多，因此本节课的教学时间需要进行合理安排，理清重难点。