《计数应用题》教学设计

教学目标:（1）掌握排列组合一些常见的题型及解题方法，能够运用两个原理及排列组合概念解决排列组合问题；

         （2）提高合理选用知识解决问题的能力．

教学重点，难点:排列、组合综合问题．

教学过程

一．知识梳理

1. 分步计数原理

2. 分类计数原理

3. 排列数公式、组合数公式以及两种公式的区别和练习

二．数学应用

1．例题：

例1．2名女生，4名男生排成一排．

   （1）2名女生相邻的不同排法共有多少种？

   （2）2名女生不相邻的不同排法共有多少种？

   （3）女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？

解：（1）“捆绑法”：将2名女生看成一个元素，与4名男生共5个元素排成一排，共有

种排法，又因为2名相邻女生有

种排法，因此不同的排法种数是

．

   （2）方法一：（插空法）

分两步完成：

第一步，将4名男生排成一排，有

种排法；

第二步，排2名女生．由于2名女生不相邻，故可在4名男生之间及两端的5个位置中选出2个排2名女生，有

种排法．

根据分步计数原理，不同的排法种数是

种．

方法二：（间接法）

因为2名女生的排法只有相邻与不相邻两种情况，所以由（1）的结果可知，2名女生不相邻的不同排法共有

种．

   （3）方法一：（特殊元素优先考虑） 

分2步完成：

第一步，排2名女生．由于女生顺序已定，故可从6个位置中选出2个位置，即

；

第二步，排4名男生．将4名男生排在剩下的4个位置上，有

种方法．

根据分步计数原理，不同的排法种数是

．

方法二：（概率型算法）

故符合要求的排法数为

种．

例2．高二（1）班有30名男生，20名女生，从50名学生中 3名男生，2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的选法？

思考：如果上述问题解答分两步：先从30名男生中选3名担任3种不同职务，再从20名女生中选2名女生担任不同职务，则结果为

，这样做对吗？为什么？（从30名男生中选3名担任3种不同职务的方法数应为

）

说明：排列、组合综合问题通常遵循“先组合后排列”的原则．

例3．某考生打算从

所重点大学中选

所填在第一档次的

个志愿栏内，其中

校定为第一志愿；再从

所一般大学中选

所填在第二档次的三个志愿栏内，其中

、

两校必选，且

在

前．问：此考生共有多少种不同的填表方法？

解：先填第一档次的三个志愿栏：因

校定为第一档次的第一志愿，故第一档次的二、三志愿有

种填法；再填第二档次的三个志愿栏：

、

两校有

种填法，剩余的一个志愿栏有

种填法．由分步计数原理知，此考生不同的填表方法共有

（种）．

例4．有

只不同的试验产品，其中有

只次品，

只正品，现每次取一只测试，直到

只次品全测出为止，求最后一只次品正好在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？

解：本题的实质是，前五次测试中有

只正品，

只次品，且第五次测试的是次品．

思路一：设想有五个位置，先从

只正品中任选

只，放在前四个位置的任一个上，有

种方法；再把

只次品在剩下的四个位置上任意排列，有

种排法．故不同的情形共有

种．

三．回顾小结：

   （1）解决有关计数的应用题时，要仔细分析事件的发生、发展过程，弄清问题究竟是排列问题还是组合问题，还是应直接利用分类计数原理或分步计数原理解决．一个较复杂的问题往往是分类与分步交织在一起，要准确分清，容易产生的错误是遗漏和重复计数；

   （2）解决计数问题的常用策略有：（1）特殊元素优先安排；（2）排列组合混合题要先选（组合）后排；（3）相邻问题捆绑处理（先整体后局部）；（4）不相邻问题插空处理；（5）顺序一定问题除法处理；（6）正难则反，合理转化．

四．课外作业：

五：教后反思

1. 学生对于分步和分类计数原理还不够熟练，灵活应用程度不够，对于本课的基本方法还能掌握，但缺乏相应的理解，后续教学中还应多增加讨论探究环节，激发学生的思维；

2. 课堂设计有待于进一步改进，设问环节需要多层次多铺垫，多给学生考虑和消化时间。提问方式可以多样化，增加学生自主讨论，完善发现问题，解决问题的过程。

3. 课堂小结应该留足够时间给学生自主总结。

 

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