课题：利用基本不等式求最值

王  苑

一、教学目标

1. 进一步掌握基本不等式，会用基本不等式求解某些函数的最值问题；

2. 掌握构造法、“1”的代换、消元法这三种解决最值问题的常用方法；

3. 通过对例题及其变式的探究，归纳总结一般的解题方法，体会化归思想的应用．

二、教学重难点

重点：利用基本不等式求最值问题的常用方法；

难点：构造基本不等式的使用条件，合理应用基本不等式．

三、教学过程

（一）复习回顾

1. 基本不等式：

，当且仅当a=b时取等号．

2. 常用变形：①

  （积定和最小）

②

   （和定积最大）

3. 使用条件：一正、二定、三相等．

（二）新课讲授

1. 构造法

例1（1）求

的最小值；

   （2）求

的最小值；改为

呢？

   （3）求

的最小值；（详细板书解答过程）

   （4）求

的最大值；

        变式：求

的最大值；（详细版书解答过程）

        提示：不方便直接除以分子，可先用换元法变形．

   （5）求

的最小值．

        提示：分子分母均为二次，可分离常数．

上述例题是利用构造法解决分式函数的最值问题，即本不满足使用基本不等式的条件，通过构造使其满足条件．

2. “1”的代换

例2（1）若

，求

的最小值；

   （2）若

，求

的最小值；

   （3）若

，求

的最小值；

   （4）已知

，求

的最小值．

3. 消元法

例2中第（3）问，也可通过消元法求解，注意重新确定变量的范围．

（三）课堂小结

1. 构造法：将函数化成“积”或“和”为定值的形式；

2. “1”的代换：已知整式的和求分式的最值，或已知分式的和求整式的最小值；

3. 消元法：已知两个变量的关系可用消元法求解，注意变量的范围；

4. 分式函数：当分子的最高项次数不低于分母次数时，可直接分离常数；当分子次数低于分母次数时，取倒数后分离常数，通常可用换元法简化运算．

四、教学反思

本节课的重点是利用基本不等式求最值问题的三种常用方法，尤其是构造法和“1”的代换，针对这一重点设置了例1和例2这两个题组。例1主要是通过分式函数体现构造法的运用，五个小问由易到难循序渐进，同时穿插换元法的使用，以及对分式函数的一般处理方式的归纳。例2是围绕“1”的代换设计的四个小题，题型分别是：（1）已知整式的和求分式；（2）已知分式的和求整式；（3）将已知条件变形后可用“1”的代换求解；（4）含有隐含条件的“1”的代换问题。消元法不是本节课的重点，教学中作为例2第（3）问的另一种解法进行介绍。事实上已知两个变量的关系时，都可以考虑用消元法求解，除去不便于消元的情况。

本节课的教学重难点是合理使用基本不等式求最值，仅靠教师单方面的强调还不足以突破难点，必须让学生通过思考与尝试自己去体会化归思想，加深理解。本节课的教学任务虽已完成，但实际容量偏大，课堂上留给学生思考的时间较少，这不符合班级学生的整体水平。在课堂中还是要注意让学生有发挥的时间和空间，学生能自己解决的则不必多言，只需在其思维受阻时进行适当的点拨和启发。

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