《函数的零点》教案
一、教学目标：
（一）知识与技能
1. 结合一元二次方程根的几何意义，理解二次函数零点的定义；
2. 结合函数零点定义的探究，掌握方程的根与二次函数的零点与函数图象与x轴交点的横坐标三者的等价关系；
（二）过程与方法
1. 通过特殊到一般的研究方法，培养学生从已有认知出发，寻找一般性问题的解法；
2. 通过数形结合思想的渗透，培养学生主动英语数学思想的意识；
3. 通过函数与方程思想的不断剖析，促使学生对知识灵活应用的能力；
（三）情感态度与价值观
1. 让学生体会数形结合、函数与方程者两大数学思想在解决数学问题时的意义与价值；
2. 使学生感受学习、探索发现新知的乐趣和成功感。
二、教学重点、难点：
（一）教学重点：函数零点的定义和零点存在定理；
（二）教学难点：函数与方程的思想的渗透，零点存在定理的解释剖析。
三、教学过程
（一）问题引入
问题1. 观察下列方程，你会求它们的根吗？
（1） ； （2） ； （3） .
学生口答：（1）、（2）可以，（3）不会。
教师：早在16世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了…，直到19世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。但是对于中学生来说，三次的方程一般都不容易求解，那么对于这种问题，该如何求其解或者是近似解呢？
问题2.你能用几种方法证明一元二次方程 有两个不相等的实数根？
学生甲：用判别式 ，所以方程 有两个不相等的实数根。
学生乙：用求根公式解得方程的根为 ，即知方程有两个不相等的实数根。
学生丙：从函数的角度考虑，设函数 ，因为函数 的图象开口向上，顶点坐标为 ，在 轴下方，画出图象发现与 轴有两个交点，交点坐标为 。所以，方程 有两个不相等的实数根，且这两个实数根为 。
教师：同学们回答的很好！前面两种方法是从方程角度来证明，后面一种方法是把方程转化为函数来处理。从这两种处理方法来看，大家觉得哪一种方法好？进行比较。
第一种和第二种解法都是从方程角度出发进行判断，第三种方法是从函数角度出发，通过证明二次函数图象与 轴有两个交点说明相应的二次方程有两个不相等的实数根，此方法采用数形结合思想，通过函数图象说明相应的方程根的问题，也体现出函数与方程的思想。
（二）概念建构
通过方法三看出方程 的两个实数根 ，是相应的二次函数 图象与 轴交点的横坐标，在这里，把使函数 的值为0的实数 称为函数 的零点。
问题3.是不是所有的二次函数都有零点呢？
学生：不是，当该二次函数图象与 轴没有交点时，该函数没有零点。
问题4.思考对于一般二次函数 的图象、零点与一元二次方程 的实数根之间的关系，不妨考虑 时的情况，完成下表：
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二次函数
的图象 |
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一元二次方程
的根 |
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无实数根 |
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二次函数
的零点 |
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无零点 |
我们通过二次函数零点的定义说明对于任意函数零点的定义：
一般地，我们把使函数 的值为0的实数 称为函数 的零点。
由上述二次函数的零点，一元二次方程的根，以及二次函数的图象可以得到一个等价关系：
函数 的零点，也就是相应的方程 的根，也就是函数 图象与 轴交点的横坐标。
注意：①零点不是点，是实数。②不是每个函数都有零点的。
问题5.学生思考：如何求函数的零点呢？
①代数法：求方程 的实数根；
②几何法：将它与函数 的图象联系起来，找到与 轴交点，进而写出零点。
（三）典例分析
例1 函数 的零点是 。
解：方法一：代数法。令 ，即 ，解得 。所以函数 的零点是2,3。
方法二：几何法。画出函数 的图象，与 轴交点为 ，所以函数 的零点为2,3。
例2 已知函数 没有零点，则实数 的取值范围是 。
解：方法一：代数法。令 即 ，因为函数 没有零点，所以方程 没有实数根，即 ，所以 。
方法二：几何法。因为函数 没有零点，即函数图象与 轴没有交点，图象开口向上，对称轴 ，则 ，即 。
（四）典例探究
探究1.判断函数 在区间（2，3）上是否有零点。
学生甲：几何法。画出函数图象，观察图象在区间（2，3）内与 轴有没有交点，若有交点，则有零点，若没有交点，则无零点。
学生乙：代数法。计算 ， ，所以判断函数 在区间（2，3）上有零点。
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x |
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y |
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O |
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a |
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b |
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c |
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d |
①函数 在区间 内 有 零点， ；
②函数 在区间 内 有 零点， ；
③函数 在区间 内 有 零点， 。
教师：通过图象可以观察得知函数在相应区间内有无零点的情况，后面时有零点时的端点值情况，由此可见，函数在某区间内有零点时，端点函数值异号，即乘积小于零。
【零点存在定理】
如果函数 在区间[a , b]上的图象是一条连续不间断的曲线，并且 ，则函数 在区间(a , b) 上有零点。即存在c∈(a , b)，使得f (c)=0，这个c也就是方程 f (x)=0的根。
思考1.为什么是“一条连续不间断的曲线”？若是曲线间断会怎样？举出反例。
思考2.该定理能否判断出零点的个数？请说明理由。
思考3.该定理反过来成立吗？即若函数 在区间(a , b)上有零点，是否一定有 成立？能通过图象说明吗？
对于以上问题，让学生画图自己尝试解决。
例3 求证：函数 在区间（-2，-1）上存在零点。
证明：因为 ，
，所以 ，
又函数 的图象在区间（-2，-1）上连续不间断，
所以函数 在区间（-2，-1）上存在零点。
（五）回顾总结
通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？
学生先回答，教师与学生一起总结：1.一个定义：函数的零点；2.三个等价关系：一元二次方程的根，以及二次函数的图象可以得到一个等价关系：函数 的零点，也就是相应的方程 的根，也就是函数 图象与 轴交点的横坐标。3.一个定理：零点存在定理；4.两个数学思想：函数与方程、数形结合的思想。
《函数的零点》教学反思
函数是高中数学的核心内容，“函数与方程”是函数一章继指数函数、对数函数、幂函数三种重要函数模型后函数思想方法的具体应用，主要涉及函数零点的概念和零点存在定理。本节课的教学中心有两个，一个是函数的零点、方程的根以及函数图象与x轴交点的横坐标三者的关系，另一个就是函数零点存在性定理。在教学设计上，我主要通过问题情境使学生产生需求的心理状态下引入课题，通过学生思考、讨论，使三种关系自然渗透到每位学生心中；在操作上是通过函数零点与方程的要以及图象与x轴的交点心横坐标的转换关系进行应用练习，特别重视数形结合的方法，因此，在题目设置上，加大了应用图形找零点之类的练习，要求学生不但会画图表示，更要懂得看图，重点体现数形结合思想在数学的应用。
在课堂教学中，主要也体现了以下几个亮点：一是问题情境引入课题，激发了学生的求知欲，调动学生参与课堂，有效地找到了切入点；二是数形结合思想在整个课堂中恰到好处的应用，对突破知识的难点非常有用，使教学效果明显提高；三是师生互动明显，在探究活动中，充分调动了学生的积极性。
但在这一节课里，依然还有许多遗憾，值得反思。一是教学重点不是太突出，零点的引入部分可以简化改进，使之更趋合理，零点存在性定理引入部分略显生硬，应该有更艺术的方式；二是高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任；三是在三种关系的转换上，没有将本质讲透彻，特别是对数学概念引入的缘由没有讲清，为什么要引入函数的零点，引入函数的零点后将有什么用，这些问题未能在课上讲透彻，没有把函数作为统帅的地位在本课中及时提出；四是在探究函数零点存在性定理时，时间紧张，讲解不够透彻，分析不全面，对于“为什么是连续不间断的图象”，“该定理反过来成立吗？”“为什么图象在[a,b]上连续不间断，在（a,b）内有零点？”没有给学生留下充分的时间画图理解。总之，虽然在课上有不如意的地方，但通过课后的反思，对教学设计和课堂驾驭能力将会有很好的促进。另外，课堂上教师怎样引导学生也是值得我深思的一个问题，还有少讲多学方面也是我今后教学中努力的方向。
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