《幂函数》教学设计

一、教学目标

1. 了解幂函数的概念，掌握几个常见幂函数的图象与性质；

2. 通过观察图象归纳出一般幂函数在第一象限内的图像特征；

3. 能运用幂函数的图象与性质解决相关问题，进一步体会数形结合的思想.

二、重点与难点

重点：幂函数的概念，常见幂函数的图象与性质；

难点：一般幂函数的单调性与幂指数的关系.

三、教学过程

（一）情境引入

请分别指出下列问题中的函数关系式：

（1）某人购买1元/kg的蔬菜 x kg，应付钱数 y 是多少元？

（2）正方形的边长为 x，则它的面积 y 是多少？

（3）如果正方体的棱长为 x，那么它的体积 y 是多少？

（4）如果正方形场地的面积为 x，那么它的边长 y 是多少？

（5）某人在 x 秒内骑车匀速行进了1km，他的速度 y (km/s)是多少?

问题1：这几个函数解析式在形式上有哪些相同特征？

（都是指数幂的形式，指数是常数，底数是自变量，都是系数为1的单项式，一般形式可以写成y=x^α）

（二）新课讲授

1. 幂函数的概念

（板书）定义：一般地，形如y=x^α的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．

注：幂函数中的α可以为任意实数。

思考：幂函数与指数函数在形式上有哪些异同？

函数	名称
	常数	x	y
y=ax(a>0，a≠1)	a为底数	指数	幂值
y=xα	α为指数	底数	幂值

注：判断一个函数是幂函数还是指数函数的关键在于看自变量x是指数还是底数。

例1 下列函数中是幂函数的有           .

(1) y=2x²;    (2) y=x³-x;    (3) y=(x+1)²; 

(4) y=2^x;     (5) y=x^-2;     (6) y=x⁰.

例2 已知幂函数y=f(x)经过点（2，  ），求函数f(x)的解析式

2. 幂函数的定义域

问题2：如何确定幂函数的定义域？

（幂函数的定义域会随着常数α的改变而改变,就是使该幂函数本身有意义的自变量x的取值范围）

3. 幂函数的图象与性质

练习：说出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性.

(1) y=x；  y=x²； y=x^1/2； y=x³；

(2) y=x^-1； y=x^-2； y=x^-1/2.

结合函数的定义域和奇偶性，分别在同一坐标系中画出上述两组函数的图象.

观察图象，完成表格：

定义域	R	R	R	[0, +∞)	{x|x≠0}	{x|x≠0}	(0, +∞)
值域	R	{y|y≠0}	R	[0, +∞)	{y|y≠0}	(0, +∞)	(0, +∞)
单调性	R上增	(-∞, 0)减 (0, +∞)增	R上增	[0, +∞)增	(-∞, 0)减 (0, +∞)减	(-∞, 0)增 (0, +∞)减	(0, +∞)减
奇偶性	奇	偶	奇	非	奇	偶	非
公共点	(0, 0)，(1, 1)				(1, 1)

幂函数的性质：

(1) 定点：

所有幂函数在区间(0,＋¥)上都有定义，并且都过定点(1，1)；

   当a＞0时，幂函数图象还过定点(0，0)．

(2) 单调性：

   当a＞0时，幂函数在区间[0,＋¥)上是增函数；

当a＜0时，幂函数在区间(0,＋¥)上是减函数．

(3) 指数大小对幂函数图象的影响：

在区间(0，1)上，“指数大，线在下”．

（三）数学应用

例3 已知函数

是幂函数.

(1) 求m的值；

(2) 若当x∈(0, +∞)时，f(x)是增函数，求m的值.

例4 比较下列各组数的大小：

(1)  1.5^0.5 ,  1.7^0.5 ；

(2)  3.14^-1 , p^-1；

(3)  5.25^-1 , 5.26^-1 , 5.26^-2.

方法小结：幂的大小比较方法：

    1. 指数相同时，利用幂函数的性质进行比较；

    2. 底数相同时，利用指数函数的性质进行比较.

（四）课堂小结

1. 幂函数图象过定点(1，1)，当α>0时还过定点(0，0).

2. 当a＞0时，幂函数在区间[0,＋¥)上是增函数；

当a＜0时，幂函数在区间(0,＋¥)上是减函数．

3. 幂函数图象在区间(0，1)上，“指数大，线在下”．

4. 应用幂函数性质解决问题时，要考虑数形结合，借助图像帮助思考。

（五）课后思考

    若

，试求a的取值范围．

四、教学反思

本节课主要是让学生在观察、归纳、概括的过程中，通过类比指数函数与对数函数获得新的幂函数知识。从课堂表现来看，学生基本上都紧跟节奏，认真观察、作图、思考、交流并总结，能通过观察图象归纳出幂函数一般性质。本节课的教学目标基本达成，具体不足总结如下：

1. 本节课中幂函数的图象占很大比重，对学生的作图能力要求较高。在作图环节中，学生主要通过五点法作图，列表描点的过程需要一段较长的时间。为了加快进度，课上留给学生作图的时间很短，基本上只能画出两至三个函数图象，并且学生都是先从熟悉的函数画起。作为补偿，课上利用几何画板演示描点画图的过程，每画出一个函数的图象，紧跟着就让学生指出它所具有的一些性质，如此一共研究了七个常见幂函数的图象与性质。就学生活动这一方面来说，活动进行得并不充分，也没能对学生画的图象进行展示总结。

2. 在观察图象总结幂函数的一般性质时，引导有些过多，学生还未观察出特征就给出提示，难免影响学生的思考。这一环节可以增加小组交流的环节，让学生组内讨论，再由代表来总结一般性质。包括后面探究指数大小对幂函数图象的影响时也可以让学生来操作几何画板，把函数解析式放到对应的图象上去，通过这种互动来激发学生的兴趣，活跃课堂气氛。

3. 最大的不足在于本节课的最后，由于时间把控不当，像比较大小这类应用例题没来得及讲解，对于最后收尾的处理也不够妥当。就本节课来说，最后不应该抢时间迅速地把例题几句带过，这种匆忙地讲解无论是对课堂效果还是对学生的掌握情况都毫无作用，而是应该在总结出幂函数的一般性质后就做结束，保证课堂的完整性。

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